МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадрат, разделенный на равное число  n столбцов и строк, со вписанными в полученные клетки первыми  n2 натуральными числами, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум большим диагоналям одно и то же число.

МАЖОРАНТА И МИНОРАНТА (от франц. majorer — объявлять большим и minorer — объявлять меньшим), две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции.

МАКЛОРЕНА РЯД (по имени К. Маклорена), частный случай Тейлора ряда.

МАКСВЕЛЛА — КРЕМОНЫ ДИАГРАММА (строительная механика), служит для графического определения усилий в стержнях плоских ферм. Предложена Дж. К. Максвеллом и итальянским математиком Л. Кремоной (L. Cremona).

МАКСИМУМ И МИНИМУМ (лат. maximum и minimum, букв. — наибольшее и наименьшее), в математике — наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями в достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

МАНТИССА (от лат. mantissa — прибавка), дробная часть десятичного логарифма. Напр., lg 300 — 2,4771, где 4771 есть мантисса для lg 300.

МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС, важный специальный вид случайных процессов. Примером марковского процесса может служить распад радиоактивного вещества, где вероятность распада данного атома за малый промежуток времени не зависит от течения процесса в предшествующий период. Теория марковского процесса возникла на основе исследований А. А. Маркова (старшего).

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ТЕОРИЯ, раздел математики, изучающий системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Типичный пример такой системы — автоматическая телефонная станция, где случайным образом поступают «требования» — вызовы абонентов, а «обслуживание» состоит в соединении их с др. абонентами.

МАСШТАБ (нем. Mabstab), отношение длины линии на чертеже, плане или карте  к длине соответствующей линии в натуре. Обозначается в виде дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — числу, показывающему степень уменьшения длин линий (напр., 1 : 100 000); масштаб чертежей часто выражается числом, большим единицы.

МАТЕМАТИКА (греч. mathematike, от mathema — наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика — преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее — алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию «пространств», весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь — вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, общий способ математического доказательства или определения некоторого свойства А для всех натуральных n, основанный на заключении от n к n+1. Математическая индукция состоит из двух этапов:

а) установление А для некоторого начального n0;

б) обоснование перехода от n к n+1.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ, изучает теорию картографических проекций  и способы применения их на практике.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНГВИСТИКА, математическая дисциплина, предметом которой является разработка формального аппарата для описания строения естественных и некоторых искусственных языков.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений. Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, занимается разработкой проблем, находящихся на стыке математики и физики. Иногда под названием «математическая физика» понимают математические методы исследования и решения задач, связанных со встречающимися в физике дифференциальными уравнениями.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ, см. Знаки математические.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ, одно из важнейших вспомогательных вычислительных средств, употребляются при различных расчетах. Математические таблицы представляют собой совокупность значений какой-либо функции для некоторых значений переменных. Напр., общеизвестные таблицы умножения дают значения функции  y = x 1 x 2, логарифмические таблицы — значения функции  z = lg  x; тригонометрические таблицы — значения функций  z = sin  x,  z = cos  x,  z = tg  x. Существуют и другие, значительно более сложные таблицы.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Термин является скорее педагогическим, чем научным: курсы математического анализа читаются в вузах и техникумах.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК, см. Маятник.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, среднее значение, понятие теории вероятностей, важнейшая характеристика распределения значений случайной величины Х. В простейшем случае, когда Х может принимать лишь конечное число значений x1, x2,..., xn с вероятностями p1, p2,..., pn, математическим ожиданием величины Х называется выражение:

ЕХ = x1p1 + x2p2 +... + xnpn.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, раздел математики, посвященный теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых некоторыми ограничениями (равенствами или неравенствами). Если изучаемая функция линейна (1-й степени) и задана на множестве, заданном линейными равенствами и неравенствами, то соответствующий раздел математического программирования называется линейным программированием. Математическое программирование называется также оптимальным программированием. Следует отличать от программирования на ЭВМ.

МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА, точка, имеющая массу. В механике понятием материальная точка пользуются в случаях, когда размеры и форма тела при изучении его движения не играют роли, а важна только масса. Практически любое тело можно рассматривать как материальную точку, если оно движется поступательно и расстояния, проходимые им, велики по сравнению с его размерами.

МАТРИЦА, в математике — прямоугольная таблица каких-либо элементов aik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов:

Если m=n, то матрица называется квадратной. Над матрицей можно производить действия по правилам матричной алгебры. Матрицы используются во многих разделах математики и физики, в частности при исследовании систем m линейных уравнений с n неизвестными.

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА, раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы  на число a — матрица . Сумма матриц  и  — матрица . Умножение матриц  и  определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго; произведением АВ = С этих матриц будет матрица  с элементами . Умножение матриц некоммутативно.

МАЯТНИК,

1) математический маятник — материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебательные движения. Приближенно такой маятник может быть осуществлен в виде тяжелого груза достаточно малых размеров, подвешенного на нити. Период колебания маятника

,

где  L — длина нити,  g — ускорение свободного падения.

2) Физический маятник — тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела. Период колебаний

,

где  I — момент инерции тела,  m — масса тела,  L — расстояние его центра тяжести С от оси вращения О. Приведенные формулы справедливы лишь при малых амплитудах колебаний. Свойствами маятника пользуются в часах и ряде других приборов.

МЕБИУСА ЛИСТ, простейшая односторонняя поверхность, рассмотренная А. Мебиусом; получается при склеивании двух противоположных сторон АВ и А'В' прямоугольника АВВ'А' так, что точки А и В совмещаются соответственно с точками В' и А'.

МЕДИАНА, в статистике — значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения на две равные части по объему частот или частостей. Сумма абсолютных величин линейных отклонений от медианы минимальна.

МЕДИАНА, понятие теории вероятностей; одна из характеристик распределения значений случайной величины Х. Медиана — такое число m, что Х принимает с вероятностью 1/2 как значения больше m, так и меньше m.

МЕДИАНА (от лат. mediana — средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

МЕРА ТОЧНОСТИ, характеристика  h рассеяния значений случайной величины; связана с квадратичным отклонением s формулой .

МЕТРИКА, математический термин, обозначающий формулу или правило для определения расстояния между любыми двумя точками (элементами) данного пространства (множества).

МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО, множество точек (элементов), на котором введена метрика.

МИЛЛИАРД (франц. milliard) (тысяча миллионов), число, изображаемое в десятичной записи единицей с 9 нулями, т. е. число 109.

МИЛЛИОН (франц. million), число, изображаемое в десятичной записи единицей с 6 нулями, т. е. число 106.

МИНИМУМ в математике, см. Максимум и минимум.

МИНОР, определитель, составленный из элементов, состоящих на пересечении произвольно выделенных  k строк и  k столбцов данной матрицы или определителя.

МИНУС (от лат. minus — менее), знак (горизонтальная черта - ) для обозначения действия вычитания, а также для обозначения отрицательности чисел.

МИНУТА (от лат. minutus — маленький, мелкий),

1) внесистемная единица времени; обозначается: мин. 1 мин = 60 с = 1/60 ч = 1/1440 сут.

2) Единица плоского угла, равная 1/60 градуса (углового) или 2,909´10-4 радиан, обозначается...'; метрическая минута — 1/10000 доля прямого угла, обозначается...c.

МНИМАЯ ЕДИНИЦА, число  i, квадрат которого равен отрицательной единице; т. о.,  i =. См. Комплексное число.

МНИМАЯ ЧАСТЬ комплексного числа  z =  x +  iy, множитель  y при мнимой единице  i; обозначается Im z.

МНИМОЕ ЧИСЛО, см. Комплексное число.

МНОГОГРАННИК, геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ, см. Телесный угол.

МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА, общее наименование логических систем, в которых, помимо двух значений истинности («истина» и «ложь»), рассматриваются и др. значения (напр., «бессмысленно», «неопределенно» и т. п.). Широко применяются в логической семантике и кибернетике.

МНОГОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, принимающая несколько значений для одного и того же значения аргумента (в противоположность однозначной функции), напр.  f( x)= ±  x, j ( x)=Arcsin  x.

МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, пространство, имеющее число измерений (размерность) более трех. Реальное пространство трехмерно. Через каждую его точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые, но уже нельзя провести четыре. Если принять указанные три прямые за оси координат, то положение каждой точки пространства определится заданием трех действительных чисел — ее прямоугольных координат. Обобщая это положение, называют  n-мерным евклидовым пространством совокупность всевозможных систем из  n чисел — «точек» этого пространства.

МНОГООБРАЗИЕ, математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краев и т. п.).

МНОГОУГОЛЬНИК (на плоскости), геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами многоугольника, а их концы — вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники и т. д. Многоугольник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от прямой, несущей любую из его сторон, и невыпуклым — в противном случае. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны.

МНОГОЧЛЕН (полином), алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т. е. выражений вида

Axkyl...wm

где  x, y,..., w -переменные,  А (коэффициент многочлена) и  k, l,..., m (показатели степеней — целые неотрицат. числа) — постоянные. Многочлен от одного переменного  x всегда можно записать в виде  а о х n  + а 1 х n-1  +... + а n-1 х + а n.

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ, раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества — простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д. То, что данный предмет (элемент, точка)  х принадлежит множеству  М, записывают  х О М. М. т. лежит в основе многих математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Об относящихся сюда понятиях см. Подмножество, Объединение множеств, Пересечение множеств, Пустое множество, Счетное множество, Континуум.

МНОЖЕСТВО, в математике, см. Множеств теория.

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА, логическая теория модальностей (модальных операторов), применяемых к высказываниям или предикатам; играет важную роль в логической семантике.

МОДЕЛЬ (лат. modulus — мера, образец),

1) образец (эталон, стандарт) для массового изготовления какого-либо изделия или конструкции; тип, марка изделия.

2) Изделие (из легкообрабатываемого материала), с которого снимается форма для воспроизведения (напр., посредством литья) в другом материале; разновидности таких моделей — лекала, шаблоны, плазы.

3) Позирующий художнику натурщик или изображаемые предметы («натура»).

4) Устройство, воспроизводящее, имитирующее строение и действие какого-либо др. («моделируемого») устройства в научных, производственных (при испытаниях) или спортивных (см. Моделизм спортивный) целях.

5) В широком смысле — любой образ, аналог (мысленный или условный: изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т. п.) какого-либо объекта, процесса или явления («оригинала» данной модели), используемый в качестве его «заместителя», «представителя» (см. Моделирование).

6) В математике и логике — моделью какой-либо системы аксиом называют любую совокупность (абстрактных) объектов, свойства которых и отношения между которыми удовлетворяют данным аксиомам, служащим тем самым совместным (неявным) определением такой совокупности.

7) Модель в языкознании — абстрактное понятие эталона или образца какой-либо системы (фонологической, грамматической и т. п.), представление самых общих характеристик какого-либо языкового явления; общая схема описания системы языка или какой-либо его подсистемы.

МОДУЛЬ комплексного числа, см. Абсолютная величина. Модуль перехода от системы логарифмов при основании  a к системе при основании  b есть число 1/log a b.

МОМЕНТ (от лат. momentum — движущая сила, толчок), понятие теории вероятностей; характеристика распределения значений случайной величины  Х. В простейшем случае, когда  Х может принимать лишь конечное число значений  x 1 , x 2 ,..., x n с вероятностями  p 1 , p 2 ,..., p n, моментом порядка  k величины  Х называется выражение

Момент 1-го порядка  а — математическое ожидание, момент 2-го порядка — дисперсия (если  а = 0).

МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ, функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает).

МОЩНОСТЬ множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие «число элементов». Мощность множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Наименее бесконечную мощность имеет множество натуральных чисел и все эквивалентные ему — т. н. счетные множества. Мощность множества всех действительных чисел (континуум) больше множества счетных множеств.

МУАВРА ФОРМУЛА, формула для нахождения  n-й степени комплексного числа  z, представленного в тригонометрической форме

согласно формуле Муавра,

Найдена А. Муавром (1707).