КАРДИОИДА (от кардио... и греч. eidos — вид), плоская кривая, описываемая точкой  М окружности, которая извне касается неподвижной окружности того же радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к эпициклоидам. Алгебраическая кривая 4-го порядка.

КАСАТЕЛЬНАЯ прямая к кривой  L в точке  M, предельное положение (на рисунке  MT), к которому стремится секущая  ММ¢ при приближении точки  М¢ к точке  М.

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ к поверхности в точке  М, плоскость, в которой расположены все касательные к кривым в точке  М, проведенным на поверхности через  М.

КАССИНИ ОВАЛЫ, алгебраические кривые 4-го порядка; множество точек, произведение расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 постоянно. Названы по имени Дж. Кассини.

КАТЕНОИД (от лат. catena — цепь и греч. eidos — вид), поверхность, форму которой принимает мыльная пленка, «натянутая» на два проволочных круга, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры; образуется вращением цепной линии.

КАТЕТ (от греч. kathetos — перпендикуляр), сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу.

КВАДРАНТ (от лат. quadrans — четвертая часть), плоский сектор с центральным углом в 90 °, 1/4 часть круга. Квадрант плоскости — любая из 4 областей (углов), на которые плоскость делится двумя взаимно перпендикулярными прямыми.

КВАДРАТ (от лат. quadratus — четырехугольный),

1) прямоугольник с равными сторонами.

2) Вторая степень числа ( а), то есть  а × а =  а2.

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА, форма 2-й степени  n переменных , т. е. однородный многочлен 2-й степени. Общий вид:

где коэффициент  — постоянные.

КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ в теории чисел, частный случай степенного вычета.

КВАДРАТУРА (от лат. quadratura — придание квадратной формы),

1) число квадратных единиц в площади данной фигуры.

2) Построение квадрата, равновеликого данной фигуре.

3) Вычисление площади или интеграла (см. Интегральное исчисление).

КВАДРАТУРА КРУГА, знаменитая задача древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу. Попытки решить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений) успеха не имели, т. к. задача сводится к построению отрезка длины , что, как было доказано в 19 в., невозможно. Задача становится разрешимой, если для построения привлечь другие средства.

КВАДРИЛЛИОН (франц. quadrillion), число, изображаемое в десятичной записи единицей с 15 нулями, т. е. число 1015; в некоторых странах квадриллион — число 1024.

КВАНТОРЫ (от лат. quantum — сколько), в логике и математике — логические эквиваленты слов «все», «каждый» и т. п. (кванторы общности), «некоторый», «существует» (кванторы существования) и др.; операторы, формализующие в исчислении предикатов логические свойства этих выражений.

КВАТЕРНИОН (от лат. quaterni — по четыре), обобщение понятия комплексного числа. Кватернион имеет вид:  a+ bi+ cj+ dk, где  a,  b,  c,  d — действительные числа, а  i,  j,  k — три специальные единицы, аналогичные мнимой единице. Для кватерниона справедливы все основные законы действий, кроме коммутативности умножения.

КВИНТИЛЛИОН (франц. quintillion), число, изображаемое в десятичной записи единицей с 18 нулями, т. е. число 1018; в некоторых странах квинтиллион — число 1030.

КИБЕРНЕТИКА (от греч. kybernetike — искусство управления), наука об управлении, связи и переработке информации. Основной объект исследования — т. н. кибернетические системы, рассматриваемые абстрактно, вне зависимости от их материальной природы. Примеры кибернетических систем — автоматические регуляторы в технике, ЭВМ, человеческий мозг, биологические популяции, человеческое общество. Каждая такая система представляет собой множество взаимосвязанных объектов (элементов системы), способных воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться ею.

Современная кибернетика состоит из ряда разделов, представляющих собой самостоятельные научные направления. Теоретическое ядро кибернетики составляют информации теория, теория алгоритмов, теория автоматов, исследование операций, теория оптимального управления, теория распознавания образов. Кибернетика разрабатывает общие принципы создания систем управления и систем для автоматизации умственного труда. Основные технические средства для решения задач кибернетики — ЭВМ. Поэтому возникновение кибернетики как самостоятельной науки (Н. Винер, 1948) связано с созданием в 40-х гг. 20 в. этих машин, а развитие кибернетики в теоретических и практических аспектах — с прогрессом электронной вычислительной техники

КЛАСС, в логике и математике — то же, что множество, т. е. произвольная (конечная или бесконечная) совокупность предметов, выделенных по какому-либо признаку и просто перечисленных. Предметы, образующие класс, называются его элементами; понятие класса возникает как абстракция от природы и порядка элементов. Абстрактные классы и операции над ними изучаются в логике классов и в ее математической модификации — множеств теории.

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ (от лат. con (cum) — вместе и linea — линия), векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

КОЛОДА, в древнерусском счете название т. н. бесконечного числа, равного 10 воронам (100 млн.).

КОЛЬЦО, понятие современной алгебры. Кольцо — совокупность элементов, для которых определены операции сложения, вычитания и умножения, обладающие обычными свойствами операций над числами. Напр., кольцо целых чисел.

КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ, раздел математики, в котором изучаются вопросы, связанные с размещением и взаимным расположением частей конечного множества объектов произвольной природы.

КОММУТАТИВНОСТЬ [от позднелат. commutativus — меняющий(ся)], или коммутативный (переместительный) закон, свойство сложения и умножения, выражаемое формулами

a +  b =  b +  a,  ab =  ba.

КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ [от лат. com(cum) — вместе и planum — плоскость], векторы, параллельные одной плоскости.

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО, число вида  x +  iy, где  х и  y — действительные числа, а  i — т. н. мнимая единица (число, квадрат которого равен -1);  х называется действительной частью, а  y — мнимой частью комплексного числа. Действительные числа — частный случай комплексных чисел (при  y = 0). Комплексные числа, не являющиеся действительными ( y ¹ 0), иногда называются мнимыми числами, при  х = 0 комплексные числа называются чисто мнимыми. Геометрически каждое комплексное число  x +  iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты  х и  y. Если полярные координаты этой точки обозначить через  r и j, то соответствующее комплексное число можно представить в виде: r (cosj+i sinj) (тригонометрическая форма комплексного числа);  называется модулем комплексного числа x+iy, а = j - arctg(y/x) его аргументом, или в экспоненциальном виде: r eij

КОМПОНЕНТА вектора  а по оси  S, вектор, образованный проекциями концов вектора  а на эту ось.

КОНГРУЭНТНЫЕ ФИГУРЫ (от лат. congruens, родительный падеж congruentis — соответствующий, совпадающий), геометрические фигуры, переходящие друг в друга при движении.

КОНЕЧНАЯ МАТЕМАТИКА (дискретная математика), раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов конечного характера. К их числу могут быть отнесены, напр., конечные группы, конечные графы, некоторые математические модели преобразователей информации.

КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ФОРМУЛА (формула Лагранжа), формула дифференциального исчисления; дает связь между приращением функции f( х) и значениями ее производной: f( b)-f( a)=( b- a)f'( c), где  a 

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся.

КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, множество прямых (образующих), проходящих через данную точку (вершину конической поверхности) и пересекающих данную кривую (направляющую). Если направляющая — окружность, а вершина конической поверхности лежит на перпендикуляре (оси конической поверхности) к плоскости окружности, проходящем через ее центр, то коническая поверхность называется круглым конусом; он состоит из двух полостей, соединяющихся в его вершине.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, линии пересечения круглого конуса (см. Коническая поверхность) с плоскостями, не проходящими через его вершину. В зависимости от взаимного расположения конуса и секущей плоскости получают три типа конических сечений: эллипс, параболу, гиперболу.

КОНСТАНТА (от лат. constans — постоянный), постоянная величина. Постоянство величины  х символически записывают  х=const. Константу часто обозначают буквами  С и  К.

КОНТИНУУМ (от лат. continuum — непрерывное) в математике, непрерывная совокупность, напр. совокупность всех точек отрезка на прямой или всех точек прямой, эквивалентная совокупности всех действительных чисел.

КОНУС (лат. conus, от греч. konos) (в элементарной геометрии), геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов (рис.); объем конуса равен  V=1/3 p r2 h, а площадь боковой поверхности  S= p rl. Боковая поверхность конуса есть часть конической поверхности

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (от позднелат. conformis — подобный), отображение одной поверхности на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом на первой поверхности, преобразуются в кривые, пересекающиеся под тем же углом на второй поверхности. Простейший пример конформного отображения — подобие.

КОНФОРМНЫЕ ПРОЕКЦИИ, то же, что равноугольные проекции.

КОНХОИДА Никомеда (от греч. konchoeides — похожий на раковину), алгебраическая кривая 4-го порядка; множество точек  М и  М', получающееся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой  х =  а на одну и ту же величину  d. Рассмотрена древнегреческим геометром Никомедом (3-2 вв. до н. э.)

КОНЦЕНТРИЧЕСКИЙ, имеющий с чем-либо общий центр; концентрические окружности — окружности разного радиуса с общим центром.

КООРДИНАТЫ (от лат. co — совместно и ordinatus — упорядоченный, определенный), числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве. Прямоугольные (декартовы) координаты точки на плоскости суть снабженные знаками + или — расстояния  QM =  OP (= х — абсцисса) и  PM =  OQ (= y — ордината) точки  М от двух взаимно перпендикулярных прямых  Ох и  Оу (осей координат). Систему координат в пространстве определяют три взаимно перпендикулярные плоскости, относительно которых положение точки  М определяется тремя координатами:  х (абсцисса),  у (ордината) и  z (аппликата). Точка  О в обоих случаях называется началом координат. Полярные координаты точки на плоскости — расстояние  ОМ =  r этой точки от фиксированной точки  О (полюса) и угол  РОМ =j между  ОМ и полярной осью  ОР ( r — радиус-вектор, j — полярный угол). В пространстве аналогом полярных координат служат цилиндрические координаты и сферические координаты. На поверхностях определяются криволинейные координаты (напр., географические координаты — долгота и широта на сфере).

КОРЕНЬ, в математике —

1) корень степени  n из числа  a — всякое число  x (обозначаемое ,  a называется подкоренным выражением),  n-я степень которого равна  a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня.

2) Корень уравнения — число, которое после подстановки его в уравнение вместо неизвестного обращает уравнение в тождество.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ, раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной зависимости между двумя (или большим числом) случайными признаками или факторами. См. Корреляция (в математической статистике).

КОРРЕЛЯЦИЯ, в математической статистике — вероятностная или статистическая зависимость. В отличие от функциональной зависимости корреляция возникает тогда, когда зависимость одного из признаков от другого осложняется наличием ряда случайных факторов.

КОСЕКАНС (новолат. cosecans, от complementi secans — секанс дополнения), одна из тригонометрических функций.

КОСИНУС (новолат. cosinus, от complementi sinus — синус дополнения), одна из тригонометрических функций.

КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА, теорема тригонометрии, устанавливающая соотношения между сторонами  a,  b,  c произвольного треугольника и косинусом угла  С между сторонами  a и  b:  c2 =  a2 +  b2 — 2 abcos C.

КОСИНУСОИДА, плоская кривая — график функции  y = cos  x. См. Тригонометрические функции.

КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА, квадратная матрица , где  aik — действительные числа, в которой любые два элемента, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку:  aik = - aki; следовательно,  aii = 0.

КОТАНГЕНС (новолат. cotangens, от complementi tangens — тангенс дополнения), одна из тригонометрических функций.

КОШИ ЗАДАЧА, одна из основных задач теории дифференциальных уравнений. Заключается в нахождении решения такого уравнения, удовлетворяющего т. н. начальным условиям. Напр., для уравнения  dy = 2 xdx можно поставить Коши задачу: найти решение  у =  у( х), принимающее при  хо = 0 значение  уо = 1; оно таково:  у =  х2 + 1. Систематически изучалась О. Коши.

КОЭФФИЦИЕНТ, в статистике — показатель, выраженный относительными величинами. Отражает: скорость развития какого-либо явления (т. н. коэффициент динамики), частоту возникновения явления (напр., коэффициент рождаемости), взаимосвязь качественно различных явлений (напр., коэффициент плотности населения), степень использования материальных, трудовых или денежных ресурсов (напр., коэффициент эффективности), вариацию величин признака (напр., коэффициент ритмичности).

КОЭФФИЦИЕНТ (от лат. co — совместно и efficiens — производящий), множитель, обычно выражаемый цифрами. Если произведение содержит одну или несколько переменных (или неизвестных) величин, то коэффициентом при них называют также произведение всех постоянных, в т. ч. и выраженных буквами. Многие коэффициенты в физических законах имеют особые названия, напр. коэффициент трения, коэффициент поглощения света.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, часто встречающаяся в математической физике задача, в которой из класса функций, определенных в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям.

КРАТНОЕ, число, делящееся на данное целое число без остатка, напр. 12 кратно 3. Общее кратное нескольких целых чисел — число, делящееся на каждое из них в отдельности, напр. 180 — общее кратное чисел 30, 18, 2. При арифметических действиях особое значение имеет наименьшее общее кратное: для чисел 30, 18, 2 им будет 90.

КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ, интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определенному интегралу от функции одного переменного (см. Интегральное исчисление). В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные,  n-кратные интегралы.

КРИВАЯ, см. в ст. Линия.

КРИВИЗНА, величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) в окрестности данной ее точки от касательной прямой (касательной плоскости).

Понятие кривизны обращается на объекты более общей природы. Напр., в римановой геометрии кривизна представляет собой меру отклонения т. н. римановых пространств от евклидовых.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ, координаты точки на плоскости, на поверхности или в пространстве, отличные от прямолинейных (декартовых) координат. На плоскости (поверхности) криволинейные координаты определяются при помощи таких двух семейств кривых (координатных линий), что любая кривая одного семейства пересекает любую кривую другого семейства не более чем в одной точке; координатами этой системы считаются соответствующие значения параметров семейств.

Криволинейные координаты впервые использовал Я. Бернулли (1691). С именем К. Гаусса связаны криволинейные координаты на поверхности. Криволинейные координаты в пространстве и название «криволинейные координаты» впервые ввел Г. Ламе (1833).

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ, интеграл от функции, заданной вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Его можно свести к определенному интегралу, а при некоторых дополнительных условиях — к двойному интегралу (Грина формула) или поверхностному интегралу (Стокса формула).

КРУГ, часть плоскости, ограниченная окружностью (содержащая ее центр). Площадь круга  S =  p R 2, где  R — радиус окружности, а  p = 3,141592654 — отношение длины окружности к диаметру.

КРУЧЕНИЕ, вторая кривизна, мера отклонения пространственной кривой в окрестности данной ее точки от соприкасающейся плоскости.

КУБ (лат. cubus, от греч. kybos),

1) один из пяти типов правильных многогранников, правильный прямоугольный параллелепипед; имеет 6 граней (квадратных), 12 ребер, 8 вершин (в каждой сходится 3 ребра).

2) Третья степень любого числа ( a), то есть  a × a × a = a3.

КУБАТУРА,

1) число кубических единиц в объеме данного тела (или помещения).

2) В математике — вычисление объема. См. Интегральное исчисление.

КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА, алгебраическая кривая 3-го порядка:  y =  x3.

КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, алгебраическое уравнение 3-й степени:  ax3+ bx2+ cx+ d = 0, где  a¹0. Решение кубического уравнения (после замены  x= y— b/3  a) может быть найдено по т. н. формуле Кардано.