Д'АЛАМБЕРА — ЛАГРАНЖА ПРИНЦИП: если к активным силам, действующим на точки механической системы с идеальными связями механическими, присоединить силы инерции, то в каждый момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы из занимаемого ею в данный момент положения будет равна нулю. Д'Аламбера — Лагранжа принцип дает общий метод решения задач динамики и статики и позволяет изучить движение механической системы, не вводя в уравнения неизвестные реакции связей. Назван по имени Ж. Д'Аламбера и Ж. Лагранжа.

ДВИЖЕНИЕ в геометрии, преобразование плоскости или пространства, не изменяющее расстояния между точками; напр., параллельный перенос.

ДВОИЧНАЯ ЕДИНИЦА, то же, что бит в теории информации.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, см. в ст. Счисление.

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ, фигура, образованная двумя полуплоскостями (гранями двугранного угла), исходящими из одной прямой, называемой ребром двугранного угла. Двугранный угол измеряется линейным углом, т. е. углом a, который получается, если восстановить в любой точке ребра 2 перпендикуляра к нему, лежащих в гранях двугранного угла.

ДВУЗНАЧНОСТИ ПРИНЦИП, связан с обязательным принятием дилеммы: каждое высказывание либо «истинно», либо «ложно»; лежит в основе классической логики и классической математики.

ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД, один из двух типов гиперболоидов.

ДВУЧЛЕН (бином), алгебраическая сумма 2 одночленов.

ДЕДУКЦИЯ (от лат. deductio — выведение), вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждение), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования. Началом (посылками) дедукции являются аксиомы, постулаты или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом — следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и ее следствия. Дедукция — основное средство доказательства (см. Аксиоматический метод, Индукция).

ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ (вещественная часть) комплексного числа  z  =  x + iy, число  х; обозначается Re z.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО (вещественное число), любое положительное, отрицательное число или нуль. Посредством действительных чисел выражаются результаты измерения всех физических величин.

ДЕКАРТОВ ЛИСТ, алгебраическая кривая 3-го порядка: х3 + у3 — 3аху = 0. Рассмотрена Р. Декартом (1638).

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ (декартова система координат), система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям — прямоугольные декартовы координаты. Названы по имени Р. Декарта.

ДЕЛЕНИЕ, арифметическое действие, обратное умножению; посредством деления по произведению  a (делимому) и одному из множителей  b (делителю), отличному от нуля, отыскивается другой множитель (частное). Знаки деления — две точки ( a: b), горизонтальная черта  или наклонная черта ( a/ b). Деление дробных чисел  a/ b и  c/ d определяется равенством ( a/ b):( c/ d) =  ad/ bc, Деление комплексных чисел  a =  a+ bi и b =  c+ di,  c2+ d2 ¹ 0 — равенством a/b = ( ac+ bd)/( c2+ d2)+( bc- ad) i/(c2+ d2).

ДЕЛИМОСТЬ, свойство целого числа делиться на другое целое число без остатка. Простейшие признаки делимости: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2; на 3 или на 9, если сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9; на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ, d-функция Дирака, символ, применяемый в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины (нагрузка, заряд и т. п.). Дельта-функция — простейшая обобщенная функция; она характеризует, напр., плотность распределения масс, при котором в одной точке сосредоточена единичная масса, а любой интервал, не содержащий этой точки, свободен от масс.

ДЕРИВАТОР (деривиметр), приспособление для построения касательных и нормалей в отдельных точках кривых. Используется при вычерчивании сложных геометрических фигур, реже при графических методах исследования.

ДЕРИВИМЕТР, то же, что дериватор.

ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ, дробь, знаменатель которой — целая степень 10 (напр., 1/10 = 0,1, 909/100 = 9,09).

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, см. Счисление.

ДЕСЯТИЧНЫЙ ЛОГАРИФМ, логарифм по основанию 10. Десятичный логарифм числа а обозначают lgа.

ДЕТЕРМИНАНТ (от лат. determinans — определяющий), то же, что определитель.

ДИАГОНАЛЬ (от греч. diagonios — идущий от угла к углу), отрезок прямой, соединяющий две несмежные вершины многоугольника или две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани.

ДИАГРАММА (от греч. diagramma — изображение, рисунок, чертеж), графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин.

ДИАМЕТР (от греч. diametros — поперечник) окружности, отрезок прямой, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр.

ДИВЕРГЕНЦИЯ, в математике — скалярное поле, характеризующее плотность источников данного векторного поля а(Р); обозначение div а. Так, дивергенция поля скоростей в установившемся движении несжимаемой жидкости характеризует интенсивность источника в данной точке.

ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ, раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами.

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ, алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.

ДИРЕКТРИСА (от средневекового лат. directrix — направляющая), прямая, лежащая в плоскости конического сечения и обладающая тем свойством, что отношение расстояний от любой точки кривой до соответствующего фокуса и до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА (по имени П. Г. Дирихле), задача об отыскании гармонической функции по ее значениям, заданным на границе рассматриваемой области.

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА, то же, что конечная математика.

ДИСКРЕТНОСТЬ (от лат. discretus — разделенный, прерывистый), прерывность; противопоставляется непрерывности. Напр., дискретное изменение какой-либо величины во времени — изменение, происходящее через некоторые промежутки времени (скачками). См. также Прерывность и непрерывность.

ДИСКРИМИНАНТ квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 — выражение b2 – 4ac = D, по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней (D ³ 0).

ДИСПЕРСИЯ (от лат. dispersio — рассеяние) в математической статистике и теории вероятностей, мера рассеивания (отклонения от среднего). В статистике дисперсия есть среднее арифметическое из квадратов отклонений наблюденных значений (x1, x2,...,xn) случайной величины от их среднего арифметического В теории вероятностей дисперсия случайной величины — математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

ДИСТРИБУТИВНОСТЬ (от лат. distributivus — распределительный), дистрибутивный (распределительный) закон, свойство сложения и умножения, выражаемое формулой (a + b +... + c)n = an + bn +... + cn.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ (от лат. differentia — разность, различие), см. Дифференциальное исчисление.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со 2-й пол. 19 в. рамки дифференциальной геометрии значительно расширились, включив также изучение т. н. многомерных пространств. Дифференциальная геометрия — важное орудие исследования в механике, теории относительности и др.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций.

Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения Dy = y1 — y0 функции к приращению Dx = x1 – x0 аргумента при Dx, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается f¢(x) или y¢; таким образом,

Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = y¢dx, где dx = Dx — приращение аргумента x. Очевидно, что y¢ = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f¢(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f¢¢(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) — функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f¢x называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f¢y, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла a (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. f¢(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, связывающее искомую функцию, ее производные (или дифференциалы) и независимые переменные, напр. dy = 2xdx. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в дифференциальное уравнение последнее обращается в тождество; в приведенном примере решением является всякая функция вида y = x2 + C, где С — любая постоянная. Процесс решения дифференциального уравнения называется его интегрированием. При помощи дифференциального уравнения записываются многие реальные процессы, поэтому дифференциальные уравнения имеют исключительно важное значение для естествознания и техники.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление.

ДЛИНА,

1) Длина отрезка прямой — расстояние между его концами.

2) Длина ломаной — сумма длин ее звеньев.

3) Длина дуги кривой — предел длины вписанной в нее ломаной, когда число ее звеньев неограниченно возрастает, причем длина каждого звена стремится к нулю.

ДОДЕКАЭДР (от греч. dodeka — двенадцать и hedra — грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 12 граней (пятиугольных), 30 ребер, 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ, в математике, см. Необходимые и достаточные условия.

ДРОБНАЯ ЧАСТЬ числа х, разность между этим числом и его целой частью [x], т. е. x = x — [x]; всегда 0 £ x < 1.

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, частное двух линейных функций, т. е. функция вида y = (ах + b)/(сх + d). Если ad — bc № 0 и с № 0, график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

ДРОБЬ, в арифметике — число составленное из целого числа долей единицы. Дробь выражается отношением двух целых чисел m/n, где n — знаменатель дроби — показывает, на сколько долей разделена единица, а m — числитель дроби — показывает, сколько таких долей содержится в дроби. Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называется правильной (напр., 5/7), если больше или равен, — неправильной (напр., 7/4). Дробь, знаменатель которой есть степень 10 (напр., 10, 100, 1000 и т. д.), называется десятичной; для ее записи выписывают слева направо количество целых единиц, а затем, после запятой, — десятых, сотых и т. д. долей, заключающихся в дроби. (напр., 245/100 = 2,45).

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, два натуральных числа, каждое из которых равно сумме правильных делителей другого (т. е. делителей, меньших этого числа). Напр., 284 и 220.

ДУГА, часть кривой линии, заключенная между двумя какими-либо точками.

ДЮЖИНА (от франц. douzaine), 12 штук (в счете однородных предметов). Чертова дюжина — число 13 (шутливо).