ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ, математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции; дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, интенсивность мгновенного источника и т. д. В понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерить лишь ее среднее значение в достаточно малой окрестности данной точки. Простейшая обобщенная функция — дельта-функция.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА для данной квадратной матрицы  А такая матрица  В (того же порядка), что  АВ=ВА=Е, где  Е — единичная матрица.

ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА, точечная трехмерная решетка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Понятие обратной решетки удобно для описания дифракции рентгеновских лучей, нейтронов и электронов на кристалле.

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением — условие.

ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если  y =  f ( x) — данная функция, то переменная  х, рассматриваемая как функция переменной  у: х = j( y), является обратной по отношению к данной функции  у =  f ( x). Напр.,  х= есть обратная функция по отношению к  y =  x3.

ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, см. Пропорциональность.

ОБРАТНОЕ ЧИСЛО, число, произведение которого на данное число равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, напр., 5 и 1/5, -2/3 и -3/2 и т. д.

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, общее название функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксеканса, арккосеканса, каждая из которых выражает величину дуги (или угла), соответствующей данному значению  х тригонометрической функции, название которой получается отбрасыванием приставки «арк». Напр., арксинус (обозначается: arcsin x) обозначает дугу, синус которой равен  х.

ОБЩАЯ МЕРА двух или нескольких однородных величин, величина того же рода, содержащаяся целое число раз в каждой из них. См. Соизмеримые и несоизмеримые величины.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Напр., для уравнения  dу = 2xdx общим решением является  y= x2+ C, где  С — произвольная постоянная.

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ (сумма множеств), понятие теории множеств; объединение множеств — множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств  А и  В обозначают  АU В или  А+ В.

ОБЪЕМ, одна из количественных характеристик геометрических тел. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его сторон (длины, ширины и высоты), а объем ступенчатого тела (тела, которое можно разбить на несколько примыкающих друг к другу прямоугольных параллелепипедов) равен сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Для любого тела объем определяется как общий предел вписанных в него или описанных около него ступенчатых тел.

ОВАЛ (от лат. ovum — яйцо), выпуклая замкнутая плоская кривая без угловых точек, напр. эллипс.

ОДНОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, принимающая для каждого значения аргумента лишь одно значение (в противоположность многозначной функции). Напр.,  f( x)= x2 является однозначной функцией, тогда как  не есть однозначная функция.

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД, один из двух типов гиперболоидов.

ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН, многочлен, у всех членов которого сумма показателей степеней входящих в него переменных (неизвестных) одинакова. Напр.:  x5+ 4x3 y2-3 xy4.

ОДНОСТОРОННЯЯ ПОВЕРХНОСТЬ, поверхность, не имеющая (в отличие, напр., от сферы) двух различных сторон. Простейшая односторонняя поверхность — лист Мебиуса.

ОДНОЧЛЕН, произведение, состоящее из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, взятых каждая с тем или иным показателем степени. Напр.: -3 a2 bc3; +0,14 xy; + x3; - a.

ОКРЕСТНОСТЬ точки в метрическом пространстве, множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа. Это — т. н. сферическая окрестность. В более общем случае под окрестностью понимают любое открытое множество, содержащее данную точку.

ОКРУГЛЕНИЕ числа, замена его числом, представляющим его приближенно. Округление производится постепенно справа налево по следующему правилу: когда последняя значащая цифра  a£4, она просто отбрасывается; когда  a³6, ближайшая слева от нее цифра увеличивается на единицу; когда  a=5, ближайшая слева от нее цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, или не изменяется, если она четная (правило четной цифры). Напр., округляя число 3,141592653 до пяти, четырех и трех значащих цифр, получим соответственно 3,1416, 3,142, 3,14.

ОКРУЖНОСТЬ, замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от ее центра  O. (рис.). Расстояние  R каждой точки окружности до ее центра называется радиусом. Прямая  АВ, соединяющая любые две точки окружности, называется ее хордой, хорда  CD, проходящая через центр окружности, — диаметром. Отношение длины окружности к ее диаметру выражается (трансцендентным) числом p=3,141 59... Длина окружности равна 2p R, а площадь круга, ею ограничиваемого, равна p R2.

ОКТАЭДР (от греч. okto — восемь и hedra — грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра).

ОПЕРАТОР,

1) математическое понятие, означающее соответствие между элементами двух множеств  X и  Y, относящее каждому элементу  x из  X некоторый элемент  y из  Y. Эквивалентный смысл имеют термины «отображение», «преобразование», «функция». Обычно термин «оператор» используется, когда  X и  Y — множества из функциональных пространств.

2) В вычислительной технике — предписание в данном языке программирования, предназначенное для задания некоторого завершенного действия в процессе переработки информации на ЭВМ.

3) В технике — специалист, управляющий с пульта работой сложного оборудования (устройства), напр. ЭВМ, радиолокационной станцией, буровой установкой.

4) В кино — специалист, производящий киносъемку, точнее — кинооператор.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. В основе метода лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми другими функциями (образами), получаемыми из данных по определенным правилам, причем действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над образами.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, см. Интегральное исчисление.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (детерминант), составленное по определенному правилу из  n2 чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений 1-й степени. Число  n называется порядком определителя. Так, определитель 2-го порядка, составленный из четырех чисел  a1,  b1,  a2,  b2, обозначается:

и равен  a1 b2- b1 a2.

ОРДИНАТА (от лат. ordinatus — расположенный в порядке), одна из декартовых координат точки, обычно вторая, обозначаемая буквой  y.

ОРИЕНТАЦИЯ, обобщение понятия направления на прямой на геометрические фигуры более общей структуры. Напр., ориентация замкнутой кривой — указание направления на ней (по часовой стрелке или против).

ОРИЕНТИРУЕМАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, понятие топологии; ориентируемая поверхность — поверхность, допускающая ориентацию. Ориентируемая поверхность имеет две стороны в отличие от неориентируемых односторонних поверхностей.

ОРТ (от греч. orthos — прямой), то же, что единичный вектор.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ, система функций jn( х),  n=1, 2,..., заданных на отрезке [ a,  b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности:

при  k ¹ l, где r( x) — некоторая функция, называемая весом. Напр., тригонометрическая система 1, sin  x, cos  x, sin 2 x, cos 2 x,... — ортогональная система функций с весом 1 на отрезке [-p, p].

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов.

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ (от греч. orthogonios — прямоугольный), обобщение понятия перпендикулярности, распространенное на различные математические объекты. Напр., два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

ОРТОДРОМИЯ (ортодрома) (от греч. orthos — прямой и dromos — бег, путь), кратчайшая линия между двумя точками сферы (или какой-либо другой поверхности вращения).

ОРТОЦЕНТР (от греч. orthos — прямой, правильный и центр), точка пересечения трех высот треугольника.

ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН приближенной формулы, разность между точным и приближенным значениями представляемого этой формулой выражения. Способы оценки остаточного члена имеют важное значение при использовании приближенных формул.

ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА, связывает тройной интеграл (см. Кратный интеграл) по некоторому объему с поверхностным интегралом по поверхности, ограничивающей этот объем. Предложена М. В. Остроградским (1828-31).

ОСТРЫЙ УГОЛ, угол, меньший прямого.

ОСЬ, в математике,

1) ось координат — прямая с указанными на ней направлением, началом отсчета и выбранной масштабной единицей, служащей для определения положения точек.

2) Ось симметрии — см. Симметрия.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ, см. Погрешность.

ОТНОШЕНИЕ, частное от деления одной величины на другую.

ОТОБРАЖЕНИЕ (в математике) множества  Х в множество  Y, соответствие, в силу которого каждому элементу  х множества  Х соответствует определенный элемент  у= f( х) множества  Y, называемый образом элемента  х. Напр., географическая карта может рассматриваться как результат отображения земной поверхности (или части ее) на кусок плоскости. Термин «отображение» равнозначен термину «функция».

ОТРЕЗОК (сегмент), в математике — множество чисел или точек на прямой между двумя числами или точками  a и  b, включая сами точки  a и  b; обозначается [ a,  b].

ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, действительное число, меньшее нуля; напр., -3, -4/5. См. Число.

ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ, то же, что погрешности измерений.

ОШИБОК ТЕОРИЯ, раздел математической статистики, посвященный численному определению значений величин по данным измерений. На основе теории ошибок разработана методика выявления и оценки погрешностей (ошибок) измерений.