ЛАГРАНЖА ФОРМУЛА (по имени Ж. Лагранжа), то же, что конечных приращений формула.

ЛАТИНСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица  n2 чисел, каждая строка и каждый столбец которой содержат числа 1, 2,...,  n. Напр., для  n = 3

2 3 1

3 1 2

1 2 3

Латинские квадраты применяются в комбинаторике.

ЛЕГИОН, в древнерусском счете 100 тыс.

ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ, специальная система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке [-1;1]. Рассматривались А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782-85).

ЛЕММА, вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем.

ЛЕМНИСКАТА Бернулли (от лат. lemniscatus, буквально — украшенный лентами), плоская кривая, имеющая вид восьмерки; множество точек  M, произведение расстояний  r1 и  r2 которых до двух данных точек  F1,  F2 (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния. Алгебраическая кривая 4-го порядка. Рассмотрена Я. Бернулли (1694).

ЛЕОДР, в древнерусском счете 1 млн.

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ (от лат. linearis — линейный), один из наиболее распространенных методов анализа нелинейных систем (или зависимостей), при котором они рассматриваются (с определенными допущениями) как линейные.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, важная в приложениях часть алгебры, содержащая, в частности, теорию линейных алгебраических уравнений, определителей, матриц.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ, соотношение вида  С1 u1+ С2 u2+... + Сn un=0, где  С1,  С2,...,  Сn — числа, из которых хотя бы одно ¹ 0, а  u1,  u2,...,  un — какие-либо математические объекты, напр. векторы или функции.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, простейшая функция, изображаемая на графике прямой линией (рисунок). Выражается формулой  y= kx+ b, где  k — тангенс угла j, под которым прямая пересекает ось абсцисс.

ЛИНЕЙНОЕ НЕРАВЕНСТВО, неравенство, левая и правая части которого — линейные функции относительно неизвестных.

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ,

1) линейное преобразование переменных  x1,  x2,...,  xn, замена этих переменных на новые  y1,  y2,...,  yn, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

здесь  aij,  bj ( i,  j =1,...,  n) — произвольные числа.

2) линейное преобразование векторного пространства, преобразование y=Ax этого пространства, обладающее свойством линейности: если  y1= Ax1,  y2= Ax2, то  A( C1 x1+ C2 x2)= C1 y1+ C2 y2, где  C1,  C2 — числа.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, один из разделов математического программирования.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, то же, что векторное пространство.

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ, алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид:  ax= b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений. Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР, обобщение понятия линейного преобразования на случай бесконечномерных пространств.

ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, обобщение понятия линейной формы на случай бесконечномерных пространств.

ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, поверхность, которую можно описать движением прямой по некоторой линии; напр., однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени. Среди линий второго порядка — эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы.

ЛИНИЯ (от лат. linea), общая часть двух смежных областей поверхности. Движущаяся точка описывает при своем движении некоторую линию. В аналитической геометрии на плоскости линии выражаются уравнениями между координатами их точек. В прямоугольной системе координат линии разделяются в зависимости от вида уравнений. Если уравнение линии имеет вид  F( x,  y)=0, где  F( x, y) — многочлен  n-й степени относительно  x,  y, то линия называется алгебраической кривой  n-го порядка. Линия 1-го порядка есть прямая. Конического сечения относятся к линиям 2-го порядка. Примеры неалгебраических линий — графики тригонометрических функций, логарифмические функции, показательные функции.

ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ, построенная в 1826 Н. И. Лобачевским геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы (постулата) о параллельных. Евклидова аксиома гласит: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну, и только одну, прямую, параллельную данной, т. е. ее не пересекающую. В геометрии Лобачевского эта аксиома заменена следующей: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данной. В геометрии Лобачевского многие теоремы отличны от аналогичных теорем евклидовой геометрии; напр., сумма углов треугольника меньше двух прямых, два подобных треугольника всегда равны между собой. Несмотря на внешнюю парадоксальность этих выводов, геометрия Лобачевского оказалась логически совершенно равноправной с евклидовой. Открытие неевклидовой геометрии Лобачевского внесло коренные изменения в представления о природе пространства.

ЛОГАРИФМ данного числа  N при основании  а, показатель степени  у, в которую нужно возвести число  а, чтобы получить  N; таким образом,  N = a y. Логарифмом обозначается обычно loga N. Логарифм с основанием  е = 2,718... называется натуральным и обозначается ln N. Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg N. Равенство  у = loga x определяет логарифмическую функцию. Основные свойства логарифма позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления. Логарифмы открыты шотландским математиком Дж. Непером и швейцарским математиком Й. Бюрги в нач. 17 в. Термин «логарифм» возник из сочетания греческих слов logos — отношение, соотношение и arithmos — число.

ЛОГАРИФМИКА (логарифмическая кривая), плоская кривая, являющаяся графиком логарифмической функции.

ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ, действие, заключающееся в нахождении логарифма числового, алгебраического или иного выражения. Логарифмирование — одно из двух действий, обратных возведению в степень.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ БУМАГА, специальным образом разграфленная бумага, обычно изготовляется типографским способом: на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел  x и  y, а затем через найденные точки проводятся прямые, параллельные осям. На логарифмической бумаге графики многих функций становятся более наглядными, а для функций вида  y = ax b — прямыми линиями.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ КРИВАЯ, то же, что логарифмика.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА (счетная линейка), счетный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Применяется при инженерных и практических расчетах, когда достаточна точность в 2-3 знака.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ, плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек  О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом a все прямые, выходящие из полюса.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, функция, обратная показательной функции. Логарифмическая функция обозначается  y = ln x ее значение  y, соответствующее значению аргумента  x, называется натуральным логарифмом числа  x. График логарифмической функции называется логарифмикой. Рассматриваются также логарифмические функции loga x при произвольных основаниях  а > 0,  а ¹ 1.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ, таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Впервые такие таблицы опубликованы Г. Бригсом в 1617.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из т. н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции («и»), дизъюнкции («или»), отрицания («не»), импликации («если..., то...») и др. Логику высказываний, задаваемую системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.

ЛОГИКА КЛАССОВ, логика объемов понятий, раздел логических теорий, в котором изучаются операции над классами (множествами) и свойства этих операций (законы логики классов).

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ, раздел логических теорий, в котором изучаются общезначимые связи между высказываниями о свойствах и отношениях предметов; в основе логики предикатов лежит формализованный язык, отображающий субъективно-предикатную структуру высказываний. См. также Исчисление предикатов.

ЛОГИСТИКА (нем. Logistic, от греч. logos — довод, доказательство), 1) этап в развитии логики, связанный с работами Б. Рассела.

2) В античной математике — совокупность вычислительных (в арифметике) и измерительных (в геометрии) алгоритмов в отличие от теоретической математики.

ЛОГИЦИЗМ, направление в основаниях математики кон. 19 — нач. 20 вв., отвергающее кантовский тезис о синтетическом характере математических истин; рассматривает математику как чисто аналитическую науку, все понятия которой можно определить в рамках дедуктивной логики без использования каких-либо положений нелогического характера. Основные представители — Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед. Тезис о «сводимости математики к логике» оказался невыполнимым, вместе с тем логицизм способствовал развитию математической логики.

ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА, вызывается нарушением правил или законов логики; признак формальной несостоятельности содержащих ее определений, рассуждений, выводов и доказательств.

ЛОГИЧЕСКИЙ ЗАКОН, название законов, образующих основу логической дедукции; схема логической связи высказываний, выражаемая общезначимой формулой логики (аксиомой или теоремой), убедительность которой вытекает из одного только истолкования входящих в нее логических операций и по существу не связана с фактической истинностью «наполняющих» ее высказываний.

ЛОГИЧЕСКИЙ СИНТАКСИС, в широком смысле — теория (возможно, аксиоматическая), рассматривающая основные принципы построения логарифмических исчислений и их формальную структуру (теоретический логический синтаксис); в узком смысле — запас выразительных средств для формулирования утверждений о формальных выражениях (языке) логического исчисления (элементарный логический синтаксис).

ЛОГИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, исчисление, символы и правила которого могут быть интерпретированы в терминах логики.

ЛУЧ (в математике), см. Полупрямая.

ЛЯПУНОВА ТЕОРЕМА, одна из предельных теорем теории вероятностей. Устанавливает весьма общие условия сходимости распределения суммы независимых случайных величин к нормальному распределению. Доказана А. М. Ляпуновым (1901).